Jakie masz pytanie?

lub
lub Zadaj pytanie

Dany jest trapez równoramienny o podstawach a i b, gdzie a>b, w którym jego przekątna i jedna z podstaw mają jednakowe długości. Przekątna trapezu dzieli kąt przy tej podstawie na połowy. Jakie miary mają kąty tego trapezu?

kąty trapezu równoramiennego długości podstaw trapezu analiza kątów trapezu
avatar

Gość (178.42.*.*)

  • 5 miesięcy temu

Odpowiedź:

Analiza krok po kroku:

  1. Oznaczenia i właściwości trapezu:

    • Podstawy trapezu: ~$ a ~#$ (dłuższa) i ~$ b ~#$ (krótsza).

    • Ramiona trapezu: równe, oznaczmy ich długość przez ~$ c ~#$.

    • Przekątna trapezu: równa długości dłuższej podstawy ~$ a ~#$.

    • Kąty przy podstawie ~$ a ~#$: oznaczmy kąty przy podstawie ~$ a ~#$ jako ~$ \alpha ~#$ i ~$ \beta ~#$.

  2. Właściwości przekątnej:

    • Przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$ a ~#$ na połowy, czyli ~$\alpha~#$ jest podzielony na dwa kąty ~$\frac{\alpha}{2}~#$.

  3. Analiza trójkąta utworzonego przez przekątną:

    • Przekątna ~$a~#$ jest równa długości dłuższej podstawy ~$a~#$.

    • Przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, więc mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, gdzie ramiona wynoszą ~$c~#$ i przekątna wynosi ~$a~#$.

  4. Wykorzystanie twierdzenia sinusów w trójkącie:

    • W trójkącie, który tworzy się przez przekątną, mamy:

      • Kąt między przekątną a ramieniem trapezu to ~$\frac{\alpha}{2}~#$.

      • Przekątna ~$a~#$ jest przeciwprostokątną w trójkącie.

  5. Obliczenia kątów:

    • Ponieważ przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, oznacza to, że ~$\alpha~#$ jest kątem przy podstawie.

    • W trójkącie równoramiennym gdzie przekątna jest podstawą, kąty przy podstawie są równe, więc ~$\frac{\alpha}{2}~#$ jest kątem przy podstawie.

  6. Symetria trapezu równoramiennego:

    • W trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są równe, więc:

      • Kąty przy podstawie ~$b~#$ (krótszej) również muszą być równe.

  7. Sumowanie kątów w trapezie:

    • Suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi ~$360^\circ~#$.

    • Skoro kąty przy podstawie ~$a~#$ wynoszą ~$\alpha~#$ każdy, to kąty przy podstawie ~$b~#$ muszą sumować się do ~$180^\circ - 2\alpha~#$.

  8. Ustalenie wartości kątów:

    • Zauważmy, że przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, co oznacza, że ~$\alpha~#$ jest kątem przy podstawie ~$a~#$.

    • Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez przekątną i ramiona trapezu, możemy wyprowadzić, że ~$\alpha~#$ jest kątem równym ~$60^\circ~#$.

Podsumowując, kąty w trapezie wynoszą:

  • Kąty przy podstawie ~$a~#$ to ~$60^\circ~#$.

  • Kąty przy podstawie ~$b~#$ to ~$120^\circ~#$.

Miary kątów tego trapezu równoramiennego wynoszą ~$60^\circ~#$ i ~$120^\circ~#$.

Podziel się z innymi:

Inne pytania z kategorii matematyka: