Jakie masz pytanie?

lub
lub Zadaj pytanie

Dany jest trapez równoramienny o podstawach a i b, gdzie a>b, w którym jego przekątna i jedna z podstaw mają jednakowe długości. Przekątna trapezu dzieli kąt przy tej podstawie na połowy. Jakie miary mają kąty tego trapezu?

avatar

Gość (178.42.*.*)

  • 3 miesiące temu

Analiza krok po kroku:

  1. Oznaczenia i właściwości trapezu:

    • Podstawy trapezu: ~$ a ~#$ (dłuższa) i ~$ b ~#$ (krótsza).

    • Ramiona trapezu: równe, oznaczmy ich długość przez ~$ c ~#$.

    • Przekątna trapezu: równa długości dłuższej podstawy ~$ a ~#$.

    • Kąty przy podstawie ~$ a ~#$: oznaczmy kąty przy podstawie ~$ a ~#$ jako ~$ \alpha ~#$ i ~$ \beta ~#$.

  2. Właściwości przekątnej:

    • Przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$ a ~#$ na połowy, czyli ~$\alpha~#$ jest podzielony na dwa kąty ~$\frac{\alpha}{2}~#$.

  3. Analiza trójkąta utworzonego przez przekątną:

    • Przekątna ~$a~#$ jest równa długości dłuższej podstawy ~$a~#$.

    • Przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, więc mamy do czynienia z trójkątem równoramiennym, gdzie ramiona wynoszą ~$c~#$ i przekątna wynosi ~$a~#$.

  4. Wykorzystanie twierdzenia sinusów w trójkącie:

    • W trójkącie, który tworzy się przez przekątną, mamy:

      • Kąt między przekątną a ramieniem trapezu to ~$\frac{\alpha}{2}~#$.

      • Przekątna ~$a~#$ jest przeciwprostokątną w trójkącie.

  5. Obliczenia kątów:

    • Ponieważ przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, oznacza to, że ~$\alpha~#$ jest kątem przy podstawie.

    • W trójkącie równoramiennym gdzie przekątna jest podstawą, kąty przy podstawie są równe, więc ~$\frac{\alpha}{2}~#$ jest kątem przy podstawie.

  6. Symetria trapezu równoramiennego:

    • W trapezie równoramiennym kąty przy podstawach są równe, więc:

      • Kąty przy podstawie ~$b~#$ (krótszej) również muszą być równe.

  7. Sumowanie kątów w trapezie:

    • Suma kątów wewnętrznych w trapezie wynosi ~$360^\circ~#$.

    • Skoro kąty przy podstawie ~$a~#$ wynoszą ~$\alpha~#$ każdy, to kąty przy podstawie ~$b~#$ muszą sumować się do ~$180^\circ - 2\alpha~#$.

  8. Ustalenie wartości kątów:

    • Zauważmy, że przekątna dzieli kąt przy podstawie ~$a~#$ na połowy, co oznacza, że ~$\alpha~#$ jest kątem przy podstawie ~$a~#$.

    • Z twierdzenia Pitagorasa w trójkącie utworzonym przez przekątną i ramiona trapezu, możemy wyprowadzić, że ~$\alpha~#$ jest kątem równym ~$60^\circ~#$.

Podsumowując, kąty w trapezie wynoszą:

  • Kąty przy podstawie ~$a~#$ to ~$60^\circ~#$.

  • Kąty przy podstawie ~$b~#$ to ~$120^\circ~#$.

Miary kątów tego trapezu równoramiennego wynoszą ~$60^\circ~#$ i ~$120^\circ~#$.

Podziel się z innymi:

Inne pytania z kategorii matematyka: