Jakie masz pytanie?

lub
lub Zadaj pytanie

Pytanie:

Czy potrafisz wykonać to zadanie i wyjaśnić, jak je rozwiązać?

Powierzchnia boczna walca, po rozwinięciu na płaszczyznę, tworzy prostokąt o wymiarach 10π cm i 20 cm. Krótszy bok prostokąta oraz wysokość walca mają równe długości. Oblicz objętość oraz pole powierzchni całkowitej tego walca.

avatar

Gość (178.42.*.*)

  • 1 dzień temu

Odpowiedź:

Rozwiązanie tego zadania wymaga zrozumienia, jak rozwinięcie powierzchni bocznej walca przekłada się na jego fizyczne właściwości. Powierzchnia boczna walca, po rozwinięciu na płaszczyznę, przybiera formę prostokąta. W naszym przypadku prostokąt ten ma wymiary 10π cm i 20 cm. Krótszy bok prostokąta odpowiada obwodowi podstawy walca, a dłuższy bok odpowiada wysokości walca.

Krok 1: Ustalanie wymiarów walca

  1. Obwód podstawy walca: Krótszy bok prostokąta to 10π cm. Jest to obwód podstawy walca, który można wyrazić wzorem:
    ~| 2\pi r = 10\pi ~#|
    Dzieląc obie strony przez ~$2\pi~#$, otrzymujemy:
    ~| r = 5 \text{ cm} ~#|

  2. Wysokość walca: Dłuższy bok prostokąta to 20 cm, co oznacza, że wysokość walca ~$h~#$ wynosi 20 cm.

Krok 2: Obliczanie objętości walca

Objętość walca ~$V~#$ można obliczyć za pomocą wzoru:
~| V = \pi r^2 h ~#|
Podstawiając znane wartości:
~| V = \pi \times (5 \text{ cm})^2 \times 20 \text{ cm} = \pi \times 25 \text{ cm}^2 \times 20 \text{ cm} = 500\pi \text{ cm}^3 ~#|

Krok 3: Obliczanie pola powierzchni całkowitej walca

Pole powierzchni całkowitej walca ~$S~#$ składa się z pola dwóch podstaw oraz powierzchni bocznej:
~| S = 2\pi r^2 + 2\pi rh ~#|

  1. Pole dwóch podstaw:
    ~| 2\pi r^2 = 2\pi \times (5 \text{ cm})^2 = 50\pi \text{ cm}^2 ~#|

  2. Pole powierzchni bocznej:
    ~| 2\pi rh = 2\pi \times 5 \text{ cm} \times 20 \text{ cm} = 200\pi \text{ cm}^2 ~#|

Sumując te wartości, otrzymujemy całkowite pole powierzchni walca:
~| S = 50\pi \text{ cm}^2 + 200\pi \text{ cm}^2 = 250\pi \text{ cm}^2 ~#|

Podsumowanie

Objętość walca wynosi ~$500\pi \text{ cm}^3~#$, a pole powierzchni całkowitej wynosi ~$250\pi \text{ cm}^2~#$. Rozwiązanie to pokazuje, jak geometryczne rozwinięcie kształtów może pomóc w obliczeniach związanych z bryłami obrotowymi, takimi jak walce. Dzięki temu możemy lepiej zrozumieć relacje między różnymi elementami bryły oraz ich wpływ na jej właściwości fizyczne.

Podziel się i wyślij odpowiedź swoim znajomym:

Najnowsze pytania z kategorii matematyka: