Jakie masz pytanie?

lub
lub Zadaj pytanie

Jak obliczyć pole powierzchni całkowitej stożka, jeśli obwód podstawy wynosi 10 cm, a obwód przekroju osiowego wynosi 26 cm?

avatar

Gość (178.42.*.*)

  • 1 miesiąc temu

Obliczenie pola powierzchni całkowitej stożka, gdy znamy obwód podstawy i obwód przekroju osiowego, wymaga kilku kroków. Skupmy się na tym, jak to zrobić krok po kroku.

Krok 1: Obliczenie promienia podstawy

Zaczynamy od obwodu podstawy. Ponieważ podstawa stożka jest kołem, obwód podstawy ~$ O ~#$ jest dany wzorem:
~| O = 2\pi r ~#|
gdzie ~$ r ~#$ to promień podstawy.

Zatem, jeśli obwód podstawy wynosi 10 cm, możemy zapisać:
~| 2\pi r = 10 ~#|

Rozwiązując dla ~$ r ~#$, otrzymujemy:
~| r = \frac{10}{2\pi} = \frac{5}{\pi} ~#|

Krok 2: Obliczenie długości tworzącej

Przekrój osiowy stożka to trójkąt równoramienny, którego podstawa ma długość równą średnicy koła podstawy (czyli ~$ 2r ~#$), a ramiona to tworzące stożka ~$ l ~#$.

Znamy obwód przekroju osiowego, który wynosi 26 cm. Obwód tego trójkąta można zapisać jako:
~| 2l + 2r = 26 ~#|

Podstawiając wartość ~$ r ~#$ z kroku 1:
~| 2l + 2\left(\frac{5}{\pi}\right) = 26 ~#|

Rozwiązując dla ~$ l ~#$, mamy:
~| 2l = 26 - \frac{10}{\pi} ~#|
~| l = \frac{26 - \frac{10}{\pi}}{2} ~#|

Krok 3: Obliczenie pola powierzchni całkowitej

Pole powierzchni całkowitej stożka ~$ S ~#$ składa się z pola podstawy ~$ S_b ~#$ i pola powierzchni bocznej ~$ S_p ~#$.

  1. Pole podstawy ~$ S_b ~#$:
    ~| S_b = \pi r^2 = \pi \left(\frac{5}{\pi}\right)^2 = \frac{25}{\pi} ~#|

  2. Pole powierzchni bocznej ~$ S_p ~#$:
    ~| S_p = \pi r l ~#|
    Podstawiając wartości ~$ r ~#$ i ~$ l ~#$:
    ~| S_p = \pi \cdot \frac{5}{\pi} \cdot \frac{26 - \frac{10}{\pi}}{2} ~#|
    ~| S_p = \frac{5}{1} \cdot \frac{26 - \frac{10}{\pi}}{2} ~#|
    ~| S_p = \frac{5 \cdot (26 - \frac{10}{\pi})}{2} ~#|

Obliczając dokładnie:
~| S_p = \frac{5 \cdot 26}{2} - \frac{5 \cdot \frac{10}{\pi}}{2} ~#|
~| S_p = 65 - \frac{25}{\pi} ~#|

  1. Pole powierzchni całkowitej ~$ S ~#$:
    ~| S = S_b + S_p ~#|
    ~| S = \frac{25}{\pi} + 65 - \frac{25}{\pi} ~#|
    ~| S = 65 ~#|

Zatem pole powierzchni całkowitej stożka wynosi 65 cm².

Podsumowanie

Obliczenie pola powierzchni całkowitej stożka wymagało od nas znalezienia promienia podstawy oraz długości tworzącej, a następnie wykorzystania tych wartości do obliczenia pól powierzchni podstawy i bocznej. Dzięki temu udało nam się znaleźć dokładny wynik. Jeśli masz więcej pytań dotyczących geometrii lub innych zagadnień matematycznych, śmiało pytaj!

Podziel się z innymi:

Inne pytania z kategorii matematyka: