Dany jest nieskończony ciąg geometryczny postaci:
~| 2, \frac{2}{p-1}, \frac{2}{(p-1)^2}, \frac{2}{(p-1)^3}, \ldots ~#|

Wyznacz wszystkie wartości ~$ p ~#$, dla których granicą tego ciągu jest liczba:
a) 0.
b) 2.

Rozwiązanie:

Ciąg geometryczny ma postać:
~| a_n = \frac{2}{(p-1)^{n-1}} ~#|

Granica ciągu geometrycznego ~$ a_n ~#$ jest równa ~$ 0 ~#$ wtedy, gdy iloraz ~$ q ~#$ jest mniejszy od ~$ 1 ~#$ (względnie wartość bezwzględna ~$ q ~#$ jest mniejsza od ~$ 1 ~#$):
~| q = \frac{1}{p-1} ~#|

a) Dla granicy równej 0:
~| \lim_{n \to \infty} a_n = 0 ~#|

To oznacza, że:
~| \left| \frac{1}{p-1} \right| < 1 ~#|
~| -1 < \frac{1}{p-1} < 1 ~#|

Rozwiązujemy nierówności:
~| -1 < \frac{1}{p-1} ~#|
~| -1(p-1) < 1 ~#|
~| -p + 1 < 1 ~#|
~| -p < 0 ~#|
~| p > 0 ~#|

oraz:
~| \frac{1}{p-1} < 1 ~#|
~| 1 < p-1 ~#|
~| p > 2 ~#|

Zatem granica ciągu będzie równa 0 dla:
~| p > 2 ~#|

b) Dla granicy równej 2:
~| \lim_{n \to \infty} a_n = 2 ~#|

To oznacza, że ciąg jest stały, czyli:
~| a_1 = a_2 = a_3 = \ldots ~#|
~| 2 = \frac{2}{p-1} ~#|
~| p-1 = 1 ~#|
~| p = 2 ~#|

Zatem granica ciągu będzie równa 2 dla:
~| p = 2 ~#|

Podsumowując:
a) Granica ciągu jest równa 0 dla ~$ p > 2 ~#$.
b) Granica ciągu jest równa 2 dla ~$ p = 2 ~#$.