Treść zadania:
"Wykres funkcji ~$ f(x) = 5^x ~#$ przesunięto o wektor ~$\vec{w} = [9, -125] ~#$. Podaj równanie asymptoty i miejsce zerowe funkcji, której wykres otrzymano."

Rozwiązanie:

1. Przesunięcie wykresu funkcji:

   • Przesunięcie o wektor ~$\vec{w} = [9, -125]~#$ oznacza przesunięcie wykresu o 9 jednostek w prawo (wzdłuż osi x) i o 125 jednostek w dół (wzdłuż osi y).

2. Nowa funkcja:

   • Przesunięcie wykresu funkcji ~$ f(x) = 5^x ~#$ o wektor ~$\vec{w} = [9, -125]~#$ daje nową funkcję ~$ g(x) = 5^{(x-9)} - 125 ~#$.

3. Równanie asymptoty:

   • Asymptota pozioma funkcji ~$ f(x) = 5^x ~#$ to ~$ y = 0 ~#$.
   • Po przesunięciu o 125 jednostek w dół, asymptota pozioma funkcji ~$ g(x) = 5^{(x-9)} - 125 ~#$ to ~$ y = -125 ~#$.

4. Miejsce zerowe:

   • Aby znaleźć miejsce zerowe funkcji ~$ g(x) = 5^{(x-9)} - 125 ~#$, rozwiązujemy równanie ~$ 5^{(x-9)} - 125 = 0 ~#$.
   • ~$ 5^{(x-9)} = 125 ~#$.
   • ~$ 125 ~#$ to ~$ 5^3 ~#$, więc ~$ 5^{(x-9)} = 5^3 ~#$.
   • Zatem ~$ x - 9 = 3 ~#$.
   • ~$ x = 12 ~#$.

Podsumowanie:

• Równanie asymptoty: ~$ y = -125 ~#$
• Miejsce zerowe: ~$ x = 12 ~#$