Aby obliczyć prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej dwa z trzech wybranych losowo pytań, możemy zastosować rozkład hipergeometryczny.

Rozkład hipergeometryczny jest używany do modelowania liczby sukcesów w próbce pobranej bez zwracania z populacji skończonej, w której każdy element może być sukcesem lub porażką.

Parametry tego rozkładu są następujące:

• ~$ N = 25 ~#$ (całkowita liczba pytań),
• ~$ K = 15 ~#$ (liczba pytań, na które student zna odpowiedź),
• ~$ n = 3 ~#$ (liczba wybranych pytań).

Chcemy obliczyć prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej dwa z trzech wybranych pytań.

1. Obliczamy prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie 0, 1, 2 i 3 pytania.

Prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie ~$ k ~#$ pytań z ~$ n ~#$ wybranych, można obliczyć za pomocą wzoru na rozkład hipergeometryczny:
~| P(X = k) = \frac{\binom{K}{k} \binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}} ~#|

2. Obliczamy prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie 0 pytania:
   ~| P(X = 0) = \frac{\binom{15}{0} \binom{10}{3}}{\binom{25}{3}} = \frac{1 \cdot 120}{2300} = \frac{120}{2300} = \frac{6}{115} ~#|

3. Obliczamy prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie 1 pytanie:
   ~| P(X = 1) = \frac{\binom{15}{1} \binom{10}{2}}{\binom{25}{3}} = \frac{15 \cdot 45}{2300} = \frac{675}{2300} = \frac{135}{460} \approx 0.2935 ~#|

4. Obliczamy prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie 2 pytania:
   ~| P(X = 2) = \frac{\binom{15}{2} \binom{10}{1}}{\binom{25}{3}} = \frac{105 \cdot 10}{2300} = \frac{1050}{2300} = \frac{21}{46} \approx 0.4565 ~#|

5. Obliczamy prawdopodobieństwo, że student odpowie na dokładnie 3 pytania:
   ~| P(X = 3) = \frac{\binom{15}{3} \binom{10}{0}}{\binom{25}{3}} = \frac{455 \cdot 1}{2300} = \frac{455}{2300} = \frac{91}{460} \approx 0.1978 ~#|

6. Sumujemy prawdopodobieństwa dla przypadków, gdy student odpowie na co najmniej dwa pytania:
   ~| P(X \geq 2) = P(X = 2) + P(X = 3) ~#|
   ~| P(X \geq 2) = \frac{21}{46} + \frac{91}{460} \approx 0.4565 + 0.1978 \approx 0.6543 ~#|

Zatem prawdopodobieństwo, że student odpowie na co najmniej dwa z trzech wybranych losowo pytań, wynosi około 0.6543, czyli około 65.43%.