Jakie masz pytanie?

lub
lub Zadaj pytanie

Jakie są współczynniki a i b wielomianu W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b, wiedząc, że jednym z jego pierwiastków jest liczba -3 oraz że W(-1) = -6?

wielomian z pierwiastkiem -3 rozwiązanie układu równań obliczanie współczynników a i b
avatar

Gość (178.42.*.*)

  • 6 miesięcy temu

Odpowiedź:

Aby wyznaczyć współczynniki a a i b b wielomianu W(x)=x3+ax2−4x+b W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b , użyjemy informacji o pierwiastkach oraz wartości wielomianu w danym punkcie.

  1. Ponieważ liczba −3-3 jest pierwiastkiem wielomianu, mamy:
    W(−3)=0. W(-3) = 0.

Podstawiamy −3-3 do wielomianu:
W(−3)=(−3)3+a(−3)2−4(−3)+b=0. W(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + b = 0.
−27+9a+12+b=0. -27 + 9a + 12 + b = 0.
−15+9a+b=0. -15 + 9a + b = 0.
9a+b=15.(Roˊwnanie 1) 9a + b = 15. \quad \text{(Równanie 1)}

  1. Wiemy również, że W(−1)=−6 W(-1) = -6 . Podstawiamy −1-1 do wielomianu:
    W(−1)=(−1)3+a(−1)2−4(−1)+b=−6. W(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 4(-1) + b = -6.
    −1+a+4+b=−6. -1 + a + 4 + b = -6.
    3+a+b=−6. 3 + a + b = -6.
    a+b=−9.(Roˊwnanie 2) a + b = -9. \quad \text{(Równanie 2)}

Teraz mamy układ równań:
9a+b=15(Roˊwnanie 1) 9a + b = 15 \quad \text{(Równanie 1)}
a+b=−9(Roˊwnanie 2) a + b = -9 \quad \text{(Równanie 2)}

Aby rozwiązać ten układ równań, odejmijmy równanie 2 od równania 1:
(9a+b)−(a+b)=15−(−9) (9a + b) - (a + b) = 15 - (-9)
9a+b−a−b=24 9a + b - a - b = 24
8a=24 8a = 24
a=3 a = 3

Podstawiamy a=3 a = 3 do równania 2:
3+b=−9 3 + b = -9
b=−12 b = -12

Zatem współczynniki a a i b b wynoszą odpowiednio:
a=3 a = 3
b=−12 b = -12

Ostatecznie wielomian W(x) W(x) ma postać:
W(x)=x3+3x2−4x−12 W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12

Podziel się z innymi:

Inne pytania z kategorii matematyka: