Aby wyznaczyć współczynniki ~$ a ~#$ i ~$ b ~#$ wielomianu ~$ W(x) = x^3 + ax^2 - 4x + b ~#$, użyjemy informacji o pierwiastkach oraz wartości wielomianu w danym punkcie.

1. Ponieważ liczba ~$-3~#$ jest pierwiastkiem wielomianu, mamy:
   ~| W(-3) = 0. ~#|

Podstawiamy ~$-3~#$ do wielomianu:
~| W(-3) = (-3)^3 + a(-3)^2 - 4(-3) + b = 0. ~#|
~| -27 + 9a + 12 + b = 0. ~#|
~| -15 + 9a + b = 0. ~#|
~| 9a + b = 15. \quad \text{(Równanie 1)} ~#|

2. Wiemy również, że ~$ W(-1) = -6 ~#$. Podstawiamy ~$-1~#$ do wielomianu:
   ~| W(-1) = (-1)^3 + a(-1)^2 - 4(-1) + b = -6. ~#|
   ~| -1 + a + 4 + b = -6. ~#|
   ~| 3 + a + b = -6. ~#|
   ~| a + b = -9. \quad \text{(Równanie 2)} ~#|

Teraz mamy układ równań:
~| 9a + b = 15 \quad \text{(Równanie 1)} ~#|
~| a + b = -9 \quad \text{(Równanie 2)} ~#|

Aby rozwiązać ten układ równań, odejmijmy równanie 2 od równania 1:
~| (9a + b) - (a + b) = 15 - (-9) ~#|
~| 9a + b - a - b = 24 ~#|
~| 8a = 24 ~#|
~| a = 3 ~#|

Podstawiamy ~$ a = 3 ~#$ do równania 2:
~| 3 + b = -9 ~#|
~| b = -12 ~#|

Zatem współczynniki ~$ a ~#$ i ~$ b ~#$ wynoszą odpowiednio:
~| a = 3 ~#|
~| b = -12 ~#|

Ostatecznie wielomian ~$ W(x) ~#$ ma postać:
~| W(x) = x^3 + 3x^2 - 4x - 12 ~#|